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さとりノート実例[高校数学 数Ⅱ]

2018.05.24

さとり塾

#さとりノート実例

高校生の数学であっても「成績が上がるタネ」に分解することができます。

以下の問題が全く手をつけることができなかったとします。

かなり多くのタネが見つかりますので、全部書いてみます。

ただ、これらを全部書くとは限りません。

自分がわからなかったところのみを書くことになります。

 

<問題>
cos(α+β)sin(α-β)=sinαcosα-sinβcosβを証明せよ。

<成績が上がるタネの一例>
[左]三角関数で角度の足し算、引き算、2倍、半分を見たら
[右]加法定理を使う!

[左]sin(α+β)=
[右]sinαcosβ+cosαsinβ

[左]cos(α+β)=
[右]cosαcosβ-sinαsinβ

[左]tan(α+β)=
[右](tanα+tanβ) / (1-tanαtanβ)

ちなみに、上記3つは加法定理ですが、この問題ではsinとcosのみですが、
tanも覚えていないならここで書いてしまいます。
また、加法定理という用語は無意味なので書きません。
また、(α+β)さえ理解していれば、βを-βにするだけで(α-β)は導けますし、
倍角と半角も計算できますから、覚えるのはこれら3つだけでOKです。

加法定理を使うと、

(cosαcosβ-sinαsinβ)(sinαcosβ-cosαsinβ)

となりますが、ここでつまずいた方についてはこう書きます。

[左](A+B)(C+D)のような式がでて、道筋が見えない時は
[右]とりあえず展開してみる!

展開してみたら意外と道が開けることがあるので、
自分で勝手にあきらめないことが大切です。

展開してみると、

cosαsinαcos²β-sin²αsinβcosβ-cos²αcosβsinβ+sin²βcosαsinα

となります。ここでつまずいたのなら、

[左]cos²θやsin²θを見たら意識すること
[右]sin²θ+cos²θ=1を活用する

これができると